\chapter{Funzioni olomorfe}
Teorema di Cauchy-Goursat (nodim). Formula di rappresentazione di Cauchy. Analiticità di una funzione olomorfa e seconda formula di rappresentazione di Cauchy. Applicazioni delle formule di Cauchy al calcolo di integrali di funzioni olomorfe lungo curve.
Zeri di una funzione olomorfa. Ordine di uno zero. Zeri isolati. Equivalenza per uno zero tra l'essere isolato e avere ordine finito. Principio di identità per le funzioni olomorfe. 
Estensioni olomorfe di alcune funzioni elementari reali (esponenziale, seno, coseno, funzioni iperboliche). Formula di Eulero. Logaritmo di un numero complesso. Funzioni multivoche. Determinazione principale del logaritmo. Continuità e derivabiltà della determinazione principale del logaritmo: piano complesso tagliato. Potenza con esponente complesso.
Teorema di Hermite-Liouville.
Teorema fondamentale dell'algebra e sue conseguenze.
Coniugata di una funzione armonica su un aperto del piano semplicemente connesso.
Proprietà della media per le funzioni armoniche di due variabili.


\section{Funzioni analitiche complesse}
\begin{teorema}
L'insieme delle funzioni olomorfe su un insieme $A\subset\C$ con $A$ aperto è isomorfo all'insieme delle funzioni analitiche in senso complesso sullo stesso insieme
\[\holomorph{A}=\analytic{A}\]
\end{teorema}
\begin{proof}[Dimostrazione $\analytic{A}\subset\analytic{A}$]

Data una funzione $f\in\analytic{A}$, fissato un $z_0\in A$, è possibile esprimere la funzione analitica come
\[ f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k\quad\forall z\in \disk{z_0,r}\]
\end{proof}
\begin{proof}[Dimostrazione $\holomorph{A}\subset\analytic{A}$]
La dimostrazione richiede la nozione di integrale in forma complessa su una curva. (Vedi Teo.~\ref{int:fun_curva_tratti})

Data una funzione $f\colon A\subset\C\to\C$, $f$ continua

Data una curva $\gamma\colon[a,b]\to A$, regolare a tratti, ovvero esiste una partizione su $[a,b]$
$\exists\{t_k\}_{k=\{0,\dots,m\} m\in\N}\subset[a,b],\quad a=t_0<t_1<\dots<t_m=b$
esiste la derivata negli estremi di ogni partizione
\[\restrict{\gamma}{[t_{k-1,k}]}\in C^1\]
\begin{figure}[!h]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[hide axis]
\addplot[red,dashed] coordinates {
(-45, -1) (0, 0)
(0, 0) (45, -1)
};
\addplot[domain=0:360]
{sin(x)};
\addplot[domain=-180:0]
{-sin(x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{proof}

\section{Teorema di Cauchy-Goursat (nodim)}
Sia $f$ una funzione olomorfa su un insieme $A$ aperto connesso (ovvero un dominio).
\[ f\subset\holomorph{A},\,A\;\text{aperto connesso}\]
\begin{definizione}[di dominio]
$A\subset\C$ si dice \textsc{Dominio} se $A$ è un aperto connesso.
\end{definizione}
\begin{teorema}[di Cauchy-Goursat]
\[\Omega\,\text{aperto connesso}, f\colon\holomorph{\Omega}\implies f\in\analytic{\Omega}\]
Sia $f$ una funzione olomorfa sul dominio $\Omega$ (aperto connesso)
\[ f:\Omega\to\C \\ \Omega\,\text{dominio (aperto connesso)}\\f\in\holomorph{\Omega}\]
Sia $\gamma$ una curva regolare a tratti chiusa \[\gamma\colon[a,b]\to\Omega,\gamma(a)=\gamma(b)\]
$\qquad\Downarrow$

Tesi:
\[\int_{\gamma}{f(z)\diff{z}=0}\]
\end{teorema}
Non so prima di dimostrarlo che la parte reale e la parte immaginaria sono funzioni $C^1$, so solo che sono differenziabili e soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann.


\begin{osservazione}
La dimostrazione con $\Omega$ semplicemente connesso, ovvero è possibile deformare con continuità $\Omega$ in un punto, è banale perché
\[f\colon\holomorph{\Omega} \\ \substack{u\\v}\in C^1(\Omega) \]
\[\intd{a}{b}{f(z)}{z} = \int_{\gamma}{u(z)\diff{x}-v(z)\diff{y}} + \imath\int_{\gamma}{v(z)\diff{x}+u(z)\diff{y}}\]
sono forme differenziali esatte e i due integrali sono nulli, ovvero $\begin{cases}u_y(z)=-v_x(z)\\v_y(z)=-u_x(z)\end{cases}$.
L'ipotesi $\Omega$ semplicemente connesso non è necessaria, il teorema ha valenza più generale ma la dimostrazione è impegnativa.
\end{osservazione}

\begin{esempio}[Controesempio]
Funzione definita olomorfa su insieme non semplicemente connesso $\Omega=\C\setminus\{0\}$
\[f(z)=\frac{1}{z} \quad f\colon\C\setminus\{0\} \quad f\in\holomorph{\C\setminus\{0\}}\]
\begin{tikzpicture}
\draw [->] (-2,0)--(2,0);
\draw [->] (0,-1.5)--(0,1.5);
\node at (1.4,0.2){$\gamma(0)$};
\node at (-0.8,1){$\gamma$};
\draw [ultra thick] (0,0) circle (1);
\draw [->, ultra thick] (1,0) arc (0:135:1);
\end{tikzpicture}

Devo calcolare $f$ lungo una parametrizzazione di $\gamma$ (circonferenza di centro 0 raggio 1): $\gamma(t)=e^{\imath 2\pi t}$ con $t\in[0,1]\to\imath 2\pi t$
\[ \int_{\gamma}{\frac{1}{z}\diff{z}}=\intd{0}{1}{\frac{1}{e^{\imath 2\pi t}}e^{\imath 2\pi t}\imath 2\pi}{t}=2\pi\imath\int_{0}^{1}{\diff{t}}=2\pi\imath\neq 0\]
Essendo  $\Omega=\C\setminus\{0\}$ non semplicemente connesso la curva non può essere deformata con continuità senza attraversare lo zero in cui la funzione non è definita.
\end{esempio}

\begin{definizione}[di orientamento frontiera dominio]
Sia $T\subset\C$, $T$ dominio regolare, si chiama \textsc{orientamento positivo} di $\partial T$ e si indica con $\partial^+T$ quello ottenuto secondo la seguente convenzione.

Fissato un sistema di riferimento ortogonale $\{i,j\}\colon\{(1,0), (0,1)\}$ è possibile individuare una coppia di versori ortogonali normalizzati congruenti alla coppia $\{i,j\}$ sui punti della frontiera $(\vec{N}(P),\vec{T}(P))$, rispettivamente normale e tangente alla frontiera $\forall P\in\partial T$, a meno di un numero finito di punti, che punti al complementare di $T$
\tikzset{reference/.pic={
\draw [->](0,0)--(1,0) node [right]{$\vec{N}$};
\draw [->](0,0)--(0,1) node [above]{$\vec{T}$};
}}
\begin{figure}[!h]
\begin{tikzpicture}
\pattern [pattern=north east lines]
(0,0) ellipse [x radius=3, y radius=2];
\draw (3,0) arc (0:360:3 and 2) [->, thick]
pic [behind path, pos=0.3, sloped, rotate=90] {reference};
\fill [white, draw=black] (0.5,0) ellipse (2 and 1);
\draw (2.5,0) arc (0:360:2 and 1) [<-, thick]
pic [behind path, pos=0.3, sloped, rotate=-90] {reference};
\node at (-2,0) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}



\end{definizione}

\begin{teorema}[di Cauchy-Goursat]\index{Teorema!Cauchy-Goursat}\label{teo:cauchy-goursat}
Sia $\Omega$ dominio (aperto connesso non necessariamente semplicemente connesso),

Sia $T\subset\Omega$, $T$ insieme aperto, $T$ dominio regolare, ovvero la sua frontiera $\partial T$ è parametrizzabile come curva regolare a tratti

Sia $f\in\holomorph{\Omega}$

$\qquad\Downarrow$
\[\int_{\gamma}{f(z)\diff{z}=0}\]

\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\pattern [pattern=north east lines]
(0,0) ellipse [x radius=3, y radius=2];
\fill [white, draw=black] (1.4,0) circle (1);
\node at (1.4,0) {$T$};
\node at (2.2,2) {$\Omega$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{teorema}


\begin{esempio}
Data la funzione
\[ f(z)=\frac{1}{z}\quad T\subset\C\setminus\{0\}\]
Le parametrizzazioni delle curve con il loro verso di percorrenza
\[ \gamma_1(t)=r_1 e^{-\imath 2\pi t} \\ \gamma_2(t)=r_2 e^{\imath 2\pi t} \\ t\colon[0,1]\to\gamma(t) \]
\[\int_{\partial^+T}{f(z)\diff{z}=0}\]
\begin{figure}[!h]
\begin{tikzpicture}
\pattern [pattern=north east lines]
(0,0) [->] circle (2) ;
\fill [white, draw=black] (0,0) circle (1);
\node at (0.7,0.2) {$\gamma_1$};
\node at (1.5,0.2) {$T$};
\node at (2.2,0.2) {$\gamma_2$};
\draw (1,0) arc (0:360:1 and 1) [<-, thick];
\draw (2,0) arc (0:360:2 and 2) [->, thick];
\draw (-2.5,0)--(2.5,0) [->];
\draw (0,-2.5)--(0,2.5) [->];
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\[\int_{\partial^+T}{f(z)\diff{z}} = \int_{\gamma_2}{\frac{1}{z}\diff{z}} + \int_{\gamma_1}{\frac{1}{z}\diff{z}} = \]
\[ \intd{0}{1}{\frac{1}{r_2 e^{\imath 2\pi t}}r_2 e^{\imath 2\pi t}\imath 2\pi}{z}  +  \intd{0}{1}{\frac{1}{r_1 e^{-\imath 2\pi t}}r_1 e^{-\imath 2\pi t}(-\imath 2\pi)}{z} = \imath 2\pi - \imath 2\pi = 0 \]
\end{esempio}



\section{Formula di rappresentazione di Cauchy.}\index{Formula!di rappresentazione di Cauchy}
\begin{teorema}[di Cauchy]\label{teo:olo_cauchy}
Sia $\Omega\subset\C$, $\Omega$ dominio (aperto connesso).
Sia $T\subset\Omega$, $T$ dominio.
Sia $f\in\holomorph{\Omega}$

Tesi: \[\forall z\in T\quad f(z)=\frac{1}{2\pi\imath}\int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}}\]

\begin{proof}
La funzione integranda $w\mapsto\frac{f(w)}{w-z}$ non è olomorfa in tutto il dominio, non è definita per $w=z$.
Per un dato $z$, il valore di $f(z)$ dipende dai valori assunti sulla frontiera $\partial T$ (che è arbitraria!).
Preso $T\subset\Omega$, T dominio, considero la funzione definita \[w\colon\Omega\setminus\{z\}\mapsto\frac{f(w)}{w-z}\]
Non posso usare direttamente il precedente teorema che necessita una funzione olomorfa in T. Devo trovare un dominio che escluda il punto z.
Prendo $T' = T\setminus D(z,r)$.
\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) ellipse [x radius=4, y radius=2.5];
\pattern [pattern=north east lines]
(0,0) ellipse [x radius=2.5, y radius=2];
\draw (2.5,0)[->, thick] arc (0:360:2.5 and 2);
\fill [white, draw=black] (0,0) circle (1);
\draw (1,0)[->, thick] arc (360:0:1);
\fill (0,0) circle (0.5mm); 
\node at (0.2,0) {$z$};
\node at (2.8,0) {$T$};
\node at (3,2) {$\Omega$};
\draw (0,-1)--(-.2,-2.8);
\node at (1.2,-2.8) {$D(z,r)\subset T\subset\Omega$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Il prodotto $f(w)\frac{1}{w-z}$ in $T'$ è olomorfo.
Per il teorema di Cauchy-Goursat ho che
\[ 0 = \int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}}  =  \int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}} + \int_{\partial^-D(z,r)}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}}\]
\[\iff \int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}} = -\int_{\partial^-D(z,r)}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}} = \int_{\partial^+D(z,r)}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}} \]
\[\intd{0}{2\pi}{\frac{f(z+r e^{\imath t})}{z+r e^{\imath t}-z}\imath r e^{\imath t}}{t}= \intd{0}{2\pi}{f(z+r e^{\imath t})\imath}{t}\]
dove si è parametrizzata la frontiera $\partial T$ con la circonferenza centrata in $z$ con $t\in[0,2\pi]\mapsto z+r e^{\imath t}$. Considero il limite per $r\to 0^+$
\[ \int_{\partial^+T}{ \frac{f(w)}{w-z}\diff{w}} = \lim_{r\to 0^+}{ \intd{0}{2\pi}{f(z+r e^{\imath t})\imath}{t} } = \imath f(z) \intd{0}{2\pi}{}{t} = 2\pi\imath f(z) \]
\end{proof}
\end{teorema}

Che è quello che volevo dimostrare perché scelto \[\frac{\epsilon}{2\pi}>0\quad\exists\delta>0\tc\forall r\in(0,\delta)\] (questo $\delta$ è $r_1$) ho 
\[\abs{\intd{0}{2\pi}{\imath f(z+r e^{\imath t})}{t}  -2\pi\imath f(z)} <\epsilon \] 

\[\abs{\intd{0}{2\pi}{\imath f(z+r e^{\imath t})}{t}  -\intd{0}{2\pi}{\imath f(z)}{t}} =
\abs{\intd{0}{2\pi}{\imath f(z+r e^{\imath t})-f(z)}{t}} =\]
\[=\abs{\imath}\abs{\dots} = 1\cdot\abs{\intd{0}{2\pi}{\imath f(z+r e^{\imath t})-f(z)}{t}} \] 
so che $f$ è continua in $\Omega$ aperto pertanto
\[\forall\frac{\epsilon}{2\pi}>0\quad\exists \disk{z,r_1}\tc \abs{f(w)-f(z)}<\frac{\epsilon}{2\pi}\quad\forall w\in\disk{z,r_1} \]
in particolare per $\forall r\colon 0<r<r_1$ contenuti nel disco.
$\forall r < r_1$
\[\abs{f(z+r e^{\imath t})-f(z)}<\epsilon\quad t\in[0,2\pi]\]
\[\abs{\intd{0}{2\pi}{f(z+r e^{\imath t})-f(z)}{t}}\leq\intd{0}{2\pi}{\abs{f(z+r e^{\imath t})-f(z)}}{t}\leq\epsilon\]


 
\section{Analiticità di una funzione olomorfa e seconda formula di rappresentazione di Cauchy.} 

\begin{teorema}[analiticità di una funzione olomorfa]\index{Funzione olomorfa!analiticità}
Sia $\Omega\subset\C$, $\Omega$ dominio (aperto connesso).
\[ f\in\holomorph{\Omega}\implies\analytic{\Omega} \]
\begin{proof}
\[\forall z_0\in\Omega\quad\exists r < r_0\tc\forall z\in\disk{z_0,r}\subset\Omega \]
\[f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k (z-z_0)^k} \]
serie di potenze centro $z_0$ sviluppo di Taylor con coefficienti $a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$.
Sfrutto il teorema di Cauchy e la $I$\textordfeminine  formula di rappresentazione (teo. \ref{teo:olo_cauchy})
Sia $r>0\tc D(z_0, r)\subset\Omega$
Sia $T\subset\Omega$, $T$ dominio $\tc\disk{z_0,r}\subset T$

\[ f(z)=\frac{1}{2\pi\imath}\int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z}\diff{w}}\]

Posso riscrivere l'integranda mettendo in evidenza la serie geometrica 
\[\frac{f(w)}{w-z_0+z0-z}=\frac{f(w)}{(w-z_0)(1-\frac{z-z_0}{w-z_0})}\]
convergente in quanto $\abs{\frac{z-z_0}{w-z_0}}\leq a<1\quad\forall z\in\disk{z_0,r},\forall w\in\partial^+T$

Ho quindi convergenza totale, quindi uniforme, nel raggio di convergenza nell'integrale di funzione complessa 
\[\forall z\in\disk{z_0,r}\quad f(z)=\frac{1}{2\pi\imath}\int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z_0} \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{(z-z_0)^k}{(w-z_0)^k}}\diff{w}}\]
posso scambiare il segno di serie con integrale
\[ =\frac{1}{2\pi\imath}\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{\partial^+T}{\frac{f(w)}{w-z_0} {\frac{(z-z_0)^k}{(w-z_0)^k}}\diff{w}}  = 
\frac{1}{2\pi\imath}\sum_{k=0}^{+\infty}{\underbrace{ \int_{\partial^+T}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}}_{a_k\in\C}(z-z_0)^k\diff{w}}\]

\end{proof}
\end{teorema}

\begin{osservazione}
Sottoprodotto del precedente teorema è la notevole \textsc{II formula di rappresentazione di Cauchy}
\[\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}=\frac{1}{2\pi\imath}{\int_{\partial^+T}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}\diff{w} }  \]
\[ f^{(k)}(z_0) = \frac{k!}{2\pi\imath} { \int_{\partial^+T} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}} \diff{w} } \quad \forall z_0\in\Omega \]
TODO: da controllare $\forall z_0\in\Omega$
\end{osservazione}



\begin{osservazione}
Dato il dominio $\Omega\subset\C$ per cui $f\in\holomorph{\Omega}\iff\analytic{\Omega}$, preso $z_0\in\Omega$ quanto posso prendere grande $\disk{z_0,r}$ tale che \[f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{f^(k)(z_0)}{k!}(z-z_0)^k, \quad\forall z\in\disk{z_0,r}\diff{w}}\]
La dimostrazione precedente risponde a questa domanda, infatti è sufficiente prendere $z_0$ che disti dal bordo di $\Omega$
\[ r< d(z_0, \partial\Omega) \quad d(z_0, \partial\Omega) = \inf_{w\in\partial\Omega}\{\abs{w-z_0}\} \]

\end{osservazione}

\section{Applicazioni delle formule di Cauchy al calcolo di integrali di funzioni olomorfe lungo curve.}
\begin{esempio}
Data la funzione $f(z)=(z^3-1)^8$ si vuole calcolare l'integrale
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{\frac{(z^3-1)^8}{z+1}\diff{z}} \] sulla circonferenza $\mathcal{C}(0,2)$.
\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\draw [->](-2.5,0)--(2.5,0);
\draw [->](0,-2.5)--(0,2.5);
\pattern [pattern=north east lines]
(0,0) circle (2);
\draw (2,0)[->, thick] arc (0:360:2);
\fill (-1,0) circle (0.05);
\node at (-1,0.2) {$-1$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Per il risultato precedente 
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{ \frac{f(w)}{w-z}\diff{w}} = 2\pi\imath f(z) \]
Pertanto si ha
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{\frac{(z^3-1)^8}{z+1}\diff{z}} = 2\pi\imath f(-1) = 2\pi\imath (-2)^8 = -2^9\pi\imath\]
\end{esempio}


\begin{esempio}
Si vuole calcolare l'integrale
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{\frac{(z^3-1)}{(z+1)^3}\diff{z}} \]
per il precedente teorema
\[ f^{(k)}(z_0) = \frac{k!}{2\pi\imath} { \int_{\partial^+T} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}} \diff{w} } \] pertanto 
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{\frac{(z^3-1)}{(z+1)^3}\diff{z}} =  \frac{2\pi\imath}{k!}f^{(k)}(z_0) =  \frac{2\pi\imath}{k!}f^{"}(-1) \]
\[ f^{'}(z)= 8 (z^3-1)^2 3z^2 \quad f^{"}(z)=56(z^3-1)^6 9z^4 + 8(z^3-1)^7 6z \]
calcolata in $z=-1$ si ha $f^{"}(-1)=56(-2)^6 9+8(-2)^7(-6)=\cdots \in\C$
\end{esempio}

\begin{esempio}
Si vuole calcolare l'integrale sulla curva $\gamma$ bordo del dominio che contiene il punto $-\imath$.
\[ \int_{\gamma}{\frac{(z-1)^4}{(z+\imath)^6}\diff{z}} \]
\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\draw [->](-2.5,0)--(2.5,0);
\draw [->](0,-1.5)--(0,1.5);
\draw [-stealth, ultra thick](0.2,.8)--(0.3,.8);
\draw plot [variable=\t, domain=0:360, samples=50]
({2*cos(\t)-0.1*sin(3*\t)}, {sin(\t)+0.2*sin(3*\t)});
\pattern [pattern=north east lines]
(0,0) plot [variable=\t, domain=0:360, samples=50]
({2*cos(\t)-0.1*sin(3*\t)}, {sin(\t)+0.2*sin(3*\t)});
\fill (-1,0) circle (0.05);
\node at (-1,0.2) {$-1$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}


Non posso applicare direttamente il teorema di Cauchy-Goursat perché la funzione non è olomorfa in tutto il dominio. Posso usare la II rappresentazione perché a denominatore ho una potenza maggiore di uno. Considero quindi la derivata quinta (a denominatore ho $k+1=6$).
\[ \frac{2\pi\imath}{k!}f^{(k)}(z_0) = \int_{\gamma}{\frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}\diff{w}} \]
\[ \int_{\gamma}{\frac{(z-1)^4}{(z-(-\imath))^6}\diff{z}} = -\frac{2\pi\imath}{5!} f^{(5)}(-\imath) = 0\]
Il segno meno è dato dal verso orario di orientamento della curva $\gamma$. La derivata $5^a$ del polinomio di $4^o$ a numeratore è nulla.

Se ho invece
\[ \int_{\gamma}{\frac{(z-1)^4}{(z+\imath)^4}\diff{z}} \]
\[
\begin{cases}
f(z)=(z-1)^4\\
f^{'}(z)=4(z-1)^3\\
f^{"}(z)=12(z-1)^2\\
f^{(3)}(z)=24(z-1)\\
\end{cases}
\]
\[ \int_{\gamma}{\frac{(z-1)^4}{(z+\imath)^4}\diff{z}} = -\frac{2\pi\imath}{3!}f^{(3)}(-\imath)= 8\pi\imath(1+\imath)=8\pi(\imath-1)\]
\end{esempio}


\begin{esempio}
Si vuole calcolare il seguente integrale sulla circonferenza $\mathcal{C}(-2\imath,2)$
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{\frac{1}{(z+\imath)^2(z-\imath)^2}\diff{z}} \]
\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\draw [->](-2.5,0)--(2.5,0);
\draw [->](0,-4.5)--(0,1.5);
\fill (0,1) circle (0.05);
\fill (0,-1) circle (0.05);
\fill (0,-2) circle (0.05);
\node at (0,1) [right] {$\imath$};
\node at (0,-1) [right] {$-\imath$};
\draw (0,-2) circle(2);
\draw (2,-2) [-stealth, ultra thick] arc(0:-15:2);
\pattern [pattern=north east lines]
(0,-2) circle(2);
\end{tikzpicture}
\end{figure}
La funzione integranda non è definita per $z=-\imath$ e $z=\imath$. Considero la II formula di rappresentazione per la funzione $f\in H(\C\setminus\{\imath\})$ 
\[f(z)=\frac{1}{(z-\imath)^2}\]
quindi considero la sua derivata prima
\[ f^{'}(z)=\frac{-2(z-1)}{(z-\imath)^4}  \quad f^{'}(-1)=\frac{-2}{(-2\imath)^3}=-\frac{1}{4\imath}\]
\[ \int_{\mathcal{C}^+(-2\imath,2)}{\frac{f(z)}{(z+\imath)^2}\diff{z}}=2\pi\imath f^{'}(-\imath)=-\frac{\pi}{2}\]
\end{esempio}

\begin{esempio}
Si vuole calcolare il seguente integrale sulla curva $\gamma$ ellisse con semiasse maggiore $0,2\imath$ semiasse minore di lunghezza 1 percorsa in senso orario $\mathcal{C}(-2\imath,2)$
\[ \int_{\mathcal{C}^+}{\frac{e^{z^2}}{(z^2-1)(z-\imath)}\diff{z}} \]
dove $z\mapsto z^2\mapsto e^{z^2}$ è olomorfa, posso applicare la I formula di rappresentazione a
\[ f(z)=\frac{e^{z^2}}{z^2-1}\]
\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\draw [->](-1.5,0)--(1.5,0);
\draw [->](0,-0.5)--(0,4.5);
\fill (0,1) circle (0.05);
\fill (0,2) circle (0.05);
\fill (-1,0) circle (0.05);
\fill (1,0) circle (0.05);
\node at (-1,0) [left, above] {$-1$};
\node at (1,0) [right, above] {$1$};
\node at (0,1) [right] {$\imath$};
\node at (0,2) [right] {$2\imath$};
\draw (0,2) ellipse[x radius=1, y radius=2];
\draw (1,2) [-stealth, ultra thick] arc(0:-10:2);
\pattern [pattern=north east lines]
(0,2) ellipse[x radius=1, y radius=2];
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\[ \int_\gamma \frac{e^{z^2}}{(z^2-1)(z-i)}\diff{z} = -2\pi\imath f(\imath)= -2\pi\imath \frac{e^{-\imath}}{-2}=\frac{\pi\imath}{e}\]
\end{esempio}

\section{Zeri di una funzione olomorfa.}
\begin{definizione}[zero di funzione]
\[f\colon A\subset\C\to\C\]
$z_0\in A$ è uno \textsc{zero} per $f$ se $f(z_0)=0$
\end{definizione}
\begin{definizione}[zero di ordine m di funzione]
$m\in\N\setminus\{0\}$, $f\in\holomorph{\Omega}$, $\Omega$ dominio

$z_0\in\Omega$ è uno \textsc{zero di ordine $m$} per $f$ se
$\exists\disk{z_0,r}\subset\Omega \quad \exists g\in\disk{z_0,r}\wedge g(z_0)\neq 0$
\end{definizione}
Vedremo che ogni polinomio in $\C$ di grado $m$ si può esprimere come \[p(z)=(z-z_0)^m_0(z-z_1)^m_1\dots(z-z_k)^m_k\] con $z_0,\dots z_k$ distinti tra loro $m_0+m_1+\dots+m_k=m$

\begin{teorema}[contatto di ordine $m$]
$f\in\holomorph{\Omega}$, $z_0$ è zero di ordine $m$ per $f \iff f^{(k)}(z_0)=0 \quad \forall k\in\{0,\dots,m-1\} \wedge f^{(n)}(z_0)\neq 0$
\begin{figure}[!h]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines=middle,enlargelimits, domain=-1.1:1.1]
\addplot[smooth]{x}
node[pos=0.2, pin=270:{$x$}]{};
\addplot[smooth]{x^2}
node[pos=0.2, pin=180:{$x^2$}]{};
\addplot[smooth]{x^3}
node[pos=0.2, pin=180:{$x^3$}]{};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}

\begin{proof}[Dimostrazione $\implies$]
\[\exists g\in\holomorph{D(z_0,t)},\disk{z_0,r}\subset\Omega, g(z_0)\neq 0 \colon f(z)=(z-z_0)^m g(z) \quad\forall z\in\disk{z_0,r}\]
la funzione $g$ è analitica quindi posso sviluppare in serie di Taylor nel disco
\[f(z)=(z-z_0)^m \sum_{k=0}^{+\infty}{a_k (z-z_0)^k}=\sum_{k=0}^{+\infty}{a_k (z-z_0)^{k+m}} = \sum_{h=m}^{+\infty}{a_{h-m}(z-z_0)^h} =\]
\[= \sum_{h=m}^{+\infty}{\frac{f^{(h)}(z_0)}{h!}{(z-z_0)^h} } \implies \begin{cases}
f(z_0)=0 \\ f^{'}(z_0)=0 \\ \vdots \\ f^{(m-1)}(z_0)=0 \\ f^{(m)}(z_0)=a_0=g(z_0) \\ a_0 \neq 0, m!\neq 0 \\ a_0\cdot m! = g(z_0)\cdot m \neq 0
\end{cases}\]
\end{proof}
\begin{proof}[Dimostrazione $\impliedby$]
Per la dimostrazione si sfrutta la definizione di funzione analitica
\[\exists r>0\tc\forall z\in\disk{z_0,r} f(z)= \sum \frac{f^{(m)}(z_0)}{k!} = \]
\[=\sum_{k=m}^{+\infty}{\frac{f^{(m)}(z_0)}{k!}(z-z_0)^k}=\]
\[=(z-z_0)^m\sum_{k=m}^{+\infty}{\frac{f^{(m)}(z_0)}{k!}(z-z_0)^{k-m}}=\]
\[\overset{k-m=h}{=}\left(\sum_{h=0}^{+\infty}{\frac{f^{(m+h)}(z_0)}{(m+h)!}(z-z_0)^{h}}\right)(z-z_0)^{m}=\]
la funzione $g(z)$ è la somma della serie che converge al valore diverso da zero
\[g(z_0) (z-z_0)^m = g(z_0) = a_0 = \frac{f^{(m)}}{m!}\neq 0 \]

\end{proof}
\end{teorema}

\section{Zeri isolati.}
\begin{definizione}
Data $f\in\holomorph{\Omega}$, $z_0\in\Omega$, $f(z_0)=0$ si dice $z_0$ \textsc{zero isolato} se $\exists r>0 \tc f(z_0)\neq 0, \forall z\in D^{'}(z_0,r)$
\end{definizione}

\section{Equivalenza per uno zero tra l'essere isolato e avere ordine finito.}
\begin{teorema}
Sia $f\in\holomorph{\Omega}$, $\Omega\subset\C$ dominio, $z_0\in\Omega$, $f(z_0)=0$ 
$z_0$ è uno \textsc{zero isolato} $\iff \exists m\in\N\setminus\{0\} \tc z_0 $ è uno \textsc{zero di ordine finito} $m$
\end{teorema}
\begin{proof}[Dimostrazione $\implies$]
Per assurdo. $z_0$ ha ordine finito, $\forall m\in\N f^{(m)}(z_0)=0$
\[ \exists r>0 \tc \forall z\in\disk{z_0,r} \quad f(z)=\sum_{m} \frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}(z-z_0)^n=0 \]
cioè $\restrict{f}{\disk{z_0,r}}\equiv 0$ il che è assurdo per $z_0$ zero isolato!
\end{proof}
\begin{proof}[Dimostrazione $\impliedby$]
Per assurdo. 
\[ \exists r>0 \tc \exists g\in\holomorph{\disk{z_0,r}} \tc f(z)=(z-z_0)^m\cdot g(z)=0 \]
con $g(z)\neq 0$ e $m\in\N\setminus\{0\}$
\[\exists\{z_k\}\subset\Omega\tc z_k\neq z_0 \text{ definitivamente } f(z_k)=0\]
\[ 0=f(z_k)=(z_k-z_0)^m g(z_k) \implies g(z_k)=0 \text{ definitivamente } \]
$0 \leftarrow g(z)\to g(z_0)$ i due limiti sono uguali ma $g(z_0)\neq 0$ ho l'assurdo.
\end{proof}
Per negazione di entrambe i membri si ha
\begin{corollario}
\[ z_0 \text{ non è isolato } \iff z_0 \text{ è uno zero di ordine infinito} \]
\[ f(z_0) = 0 = f^{'}(z_0) = \dots = f^{(k)}(z_0)\; \forall k\in\N\quad f^{(k)}(z_0) = 0 \iff f\equiv 0 \text{ su $\Omega$ aperto connesso} \]
\end{corollario}

\section{Principio di identità per le funzioni olomorfe. }
Sia $\Omega$ un dominio (un aperto connesso), sia $f\in\holomorph{\Omega}$, se $f$ ha uno zero non isolato $\implies f(z)=0\;\forall z\in\Omega$
\begin{corollario}
$\substack{f\\g}\in\holomorph{\Omega}\quad \exists z_0\in\Omega f(z_0)=g(z_0) \quad (f-g)(z_0)=0$
\end{corollario}
\begin{corollario}
$\substack{f\\g}\in\holomorph{\Omega}$, $\Omega$ aperto connesso, $z_0\in\Omega \tc f(z_0)=g(z_0)$ 
Se $z_0$ è un punto di accumulazione per l'insieme
$z = \{z\in\Omega\colon f(z)=g(z) \implies f(z)=g(z)\} \quad\forall z\in\Omega $
\end{corollario}

\section{Estensioni olomorfe di alcune funzioni elementari reali (esponenziale, seno, coseno, funzioni iperboliche).}

\begin{definizione}[Esponenziale complesso]\index{Funzione!esponenziale}\label{def:esponenziale}
La funzione esponenziale definita in $\R$
\[e^x = \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k!}}\]

La funzione esponenziale olomorfa definita in $\C$  
\[e^z := \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{z^k}{k!}}\]
che estende la $e^x$ per $z\in\R \quad z=x+0\imath$.
\end{definizione}
Questa è l'unica funzione estensione intera olomorfa su $\C$ che estenda la funzione esponenziale nel campo reale. Non può esistere un'altra funzione $g(z)\in\holomorph{\Omega}\tc\restrict{g}{\R}(x)=e^x$ per il principio di identità delle funzioni olomorfe.

Proprietà esponenziale
\begin{enumerate}
\item $D e^z = e^z$
\item $\forall z\in\C\quad e^z=0$
\item $e^{z+w}=e^z e^w$
\item $z=x+\imath y \\e^z=e^x e^{\imath y}\\ \abs{e^z}=\abs{e^x e^{\imath y}} = e^x \cdot 1\neq 0$
\end{enumerate}

La funzione esponenziale $e^z$ è periodica di periodo $2\pi\imath$
\[ e^{z+2\pi\imath}=e^z\quad\forall z\in\C\]
$z=x+\imath y\quad e^{z+2\pi\imath}=e^{x+\imath(y+2\pi)}=e^x e^{\imath(y+2\pi)}=e^x e^{\imath y}$

\begin{figure}[!h]
\begin{tikzpicture}
\draw [->] (-2,0)--(2,0);
\draw [->] (0,-1.5)--(0,1.5);
\node at (1.4,-0.5){$y$};
\node at (-1.4,-1.2){$y+2\pi$};
\draw [ultra thick] (0,0)--(1.25,-1.25);
\draw [->, thick] (1,0) arc (0:315:1);
\draw [->, thick] (1.25,0) arc (0:-45:1.25);
\end{tikzpicture}
\end{figure}

Data la definizione della funzione seno nel campo $\R$
\[\forall x\in\R\quad \sin x=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} \]
è possibile definire le estensioni olomorfe delle funzioni seno e coseno nel campo $\C$
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sen z\quad\restrict{f}{\R}(x)=\sin x\]
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}=\cos z\quad\restrict{f}{\R}(x)=\cos x\]

\begin{teorema}[Formula di Eulero]\index{Formula!Eulero}\label{formula:eulero}
Sia $\theta\in\R$, l'esponenziale del numero complesso $z=\imath\theta$
\[ e^{\imath\theta}=\cos\theta + \imath\sen\theta\quad\forall\theta\in\R\]
\begin{proof}

Abbiamo
\[e^{\imath\theta}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\imath\theta)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty} i^k \frac{\theta^k}{k!}= \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\theta^{2k}}{(2k)!} + \imath \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} = \cos\theta+\imath\sen\theta\]
dato che le potenze di $\imath$ : $\imath^0=1$, $\imath^1=\imath$, $\imath^2=-1$, $\imath^3=-\imath$, $\imath^4=1$, $\imath^5=\imath$, $\imath^6=-1$, $\imath^7=-\imath$, $\imath^8=1$, $\dots$ e così via.
\end{proof}
\end{teorema}

Quindi se $z=x+\imath y$ \[e^z=e^{x+\imath y}=e^x e^{\imath y}=e^x(\cos y+\imath\sen y)\].

Inoltre se $z\in\C$ e si consideri $\imath z$ e $-\imath z$:
\[e^{\imath z}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\imath z)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty} i^k \frac{z^k}{k!} \\ e^{-\imath z}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-\imath z)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty} (-i)^k \frac{z^k}{k!}  \]

Sommando termine a termine si elidono i termini di grado dispari 
\[ \cos z =\frac{e^{\imath z}+e^{-\imath z}}{2}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}\quad\forall z\in\C\]

Sottraendo termine a termine si elidono i termini di grado pari 
\[ \sen z =\frac{e^{\imath z}-e^{-\imath z}}{2\imath}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\forall z\in\C\]

Si ha inoltre la notevole espressione, funzione olomorfa di costante valore 1, \[\cos^2 z + \sen^2 z= 1\]

Le funzioni seno e coseno complesso sono periodiche di periodo $2\pi$
\[\cos(z+2k\pi)=\cos z \\ \sen(z+2k\pi)=\sen z\]
\[\cos(z+2k\pi)=\frac{e^{\imath(z+2k\pi)}+e^{-\imath(z+2k\pi)}}{2} =\frac{e^{\imath z }+e^{\imath 2k\pi}+e^{-\imath z}+e^{-\imath 2k\pi}}{2} = \frac{e^{\imath z}+e^{-\imath z}}{2}=\cos z\]

Le funzioni seno e coseno non sono limitate in $\C$: non è possibile trovare una sfera nell'immagine della mappa entro cui siano contenuti tutti i valori di $\sen$ e $\cos$.

Infatti per $z=\imath t, t\in(0,+\infty)$ \[\cos(\imath t)=\frac{e^{\imath(\imath t)}+e^{-\imath(\imath t)}}{2}=\frac{e^{-t}+e^t}{2}  \quad \lim_{t\to\pm\infty}\frac{e^{-t}+e^t}{2}=+\infty\]
\[\sen(\imath t)=\frac{e^{\imath(\imath t)}-e^{-\imath(\imath t)}}{2\imath}=\frac{e^{-t}-e^t}{2\imath}=\imath\frac{e^t-e^{-t}}{2}  \quad \abs{\imath\frac{e^t-e^{-t}}{2}}=\abs{\frac{e^t-e^{-t}}{2}}\overset{t\to\pm\infty}{\to}+\infty \]

Le funzioni seno e coseno iperbolico nel piano complesso

\begin{definizione}[Seno iperbolico]
\[ \senh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \]
\end{definizione}
\begin{definizione}[Coseno iperbolico]
\[ \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2\imath} \]
\end{definizione}
Le funzioni iperboliche complesse sono periodiche di periodo $2\pi\imath$, vale a dire lungo le direzioni parallele all'asse immaginario
\[\senh(z+2k\pi\imath)=\senh z \\ \cosh(z+2k\pi\imath)=\cosh z  \]

\[\cosh^2 z + \senh^2 z= 1\]

\begin{definizione}{Derivate funzioni circolari ed iperboliche in $\in\C$}
\[ \Deriv\sen z = \Deriv\left( \frac{e^{\imath z}-e^{-\imath z}}{2\imath}\right) = \imath \frac{e^{\imath z}+e^{-\imath z}}{2\imath} = \frac{e^{\imath z}+e^{-\imath z}}{2} = \cos z \]

\[ \Deriv\cos z = \Deriv\left( \frac{e^{\imath z}+e^{-\imath z}}{2}\right) = \imath \frac{e^{\imath z}-e^{-\imath z}}{2} = - \frac{e^{\imath z}-e^{-\imath z}}{2\imath} = - \sen z \]

\[ \Deriv\senh z = \Deriv\left( \frac{e^z - e^{-z}}{2} \right) = \frac{e^z+e^{-z}}{2} = \imath\frac{e^z+e^{-z}}{2\imath} = \imath \cosh z \]

\[ \Deriv\cosh z = \Deriv\left( \frac{e^z + e^{-z}}{2\imath} \right) = \frac{e^z-e^{-z}}{2\imath} = \imath \frac{e^z-e^{-z}}{2} = \imath \senh z \]

\end{definizione}


\section{Principio di identità per le funzioni olomorfe.}
\begin{teorema}
Sia $\Omega\subset\C$ dominio, siano $\substack{f\\g}\in\holomorph{\Omega}$, se l'insieme in cui le funzioni assumono lo stesso valore $A = \{z\in\Omega\colon f(z)=g(z)\}$, non vuoto $A\neq\emptyset$, ha almeno un punto di accumulazione in $\Omega \implies f\equiv g$ 
\end{teorema}
